Question

5．已知：关于x的一元二次方程x²-（2m+3）x+m²+3m+2=0（m为实数）的两个实数根分别是△ABC的两边AB、AC的长，且第三边BC的长为5．当m取何值时，△ABC为直角三角形？

Answer 1

分析 首先利用根的判别式，判定无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根，然后利用公式法求出两个解，再设AB=m+1，AC=m+2，则AB＜AC，再分情况计算：①当BC为直角边时，②当BC为斜边时，分别算出m的值．

解答 解：∵a=1，b=-（2m+3），c=m²+3m+2，
∴△=b²-4ac，
=[-（2m+3）]²-4（m²+3m+2），
=4m²+12m+9-4m²-12m-8，
=1＞0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根，
由求根公式得：$x=\frac{{-b±\sqrt{{b^2}-4ac}}}{2a}=\frac{{（{2m+3}）±1}}{2}$，
即x₁=m+2，x₂=m+1，
不妨设AB=m+1，AC=m+2，则AB＜AC，
∵△ABC为直角三角形且第三边BC=5，
当BC为直角边时，由勾股定理得：
AB²+BC²=AC ²
∴（m+1）²+5²=（m+2）²，
解得m=11，
当BC为斜边时，由勾股定理得：AB²+AC²=BC²，
∴（m+1）²+（m+2）²=5²，
解得m₁=2，m₂=-5，
当m=-5时，AB=m+1=-4，
∴m=-5（舍去）
∴m=11或m=2时，△ABC为直角三角形．

点评 此题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及勾股定理逆定理的应用，关键是要分情况讨论，不要漏解．