Question

如图，锐角△ABC中，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点D，E，记△ADE的面积为S₁，△ABC的面积为S₂，则=

1. A.
   sinA
2. B.
   sin²A
3. C.
   cosA
4. D.
   cos²A

Answer 1

D
分析：如图，连接BE．构建直角△ABE，通过解该直角三角形求得cosA=；然后通过相似三角形△AED∽△ABC的对应边的比成比例知=；最后结合三角形的面积公式分别求得△ADE、△ABC的面积．
解答：解：如图，连接BE．
∵BC为半圆的直径，
∴∠BEC=∠AEB=90°．
∴在直角△ABE中，cosA=，
∵点D、B、C、E四点共圆，
∴∠ABC+∠DEC=180°．
∵∠DEC+∠AED=180°，
∴∠ABC=∠AED．
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴=．
∵S₁=AE•AD•sinA，S₂=AB•AC•sinA，
===cos²A．
故选D．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理以及解直角三角形等知识点．解答该题时，借用了圆内接四边形的内对角互补的性质．