Question

如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC的内接矩形，且S_△ABC=nS_矩形PQRS，其中n为不小于3的自然数．求证：

BS

AB

需为无理数．

Answer 1

分析：可由△ASR∽△ABC得出对应边成比例，再由三角形与梯形的面积比建立等式，即可得出结论．

解答：证明：如图，
设BC=a，BC边上的高AD=h，PS=x，RS=y，由△ASR∽△ABC，得

h-x

h

=

y

a

，
∴y=

h-x

h

•a，
∵S_△ABC=nS_梯形PQRS，即

1

2

ah=nxy•

h-x

h

•a，整理得2nx²-2nxh+h²=0，
2n(

x

h

)2-2n•

x

h

+1=0，∴

x

h

=

1

2

±

1

2n

n2-2n

，显然n²-2n＜（n-1）²又n≥3，
∴n²-2n＞（n-2）²，故n²-2n不是完全平方数，

n2-2n

为无理数，
从而

x

n

为无理数，于是

BS

BA

=

x

h

为无理数．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及一元二次方程的求解问题，能够熟练掌握．