Question

20．如图，已知A（1，3），B（5，0），在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 过A作AC⊥x轴于C，根据A（1，3），B（5，0），得到AC=3，BC=4，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，①若AP=AB=5，则PC=BC=4，求得 P₁（-3，0）；②若BP=BA=5，求得P₂（0，0）；③若PA=PB，则P在AB的垂直平分线上，求得P₃（$\frac{25}{8}$，0）；④若BA=PB=5，求得P₄（10，0）．

解答 解：存在，
过A作AC⊥x轴于C，
∵A（1，3），B（5，0），
∴AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
①若AP=AB=5，则PC=BC=4，
∴P₁（-3，0）；
②若BP=BA=5，则P₂（0，0）；
③若PA=PB，则P在AB的垂直平分线上，
∴$\frac{PB}{5}=\frac{\frac{5}{2}}{4}$，
∴PB=$\frac{25}{8}$，
∴P₃（$\frac{25}{8}$，0）；
④若BA=PB=5，则P₄（10，0）．
综上所述：p（-3，0），（0，0），（$\frac{25}{8}$，0），（10，0）．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解答此题的关键．