Question

19．如图，若等边△ABC的内切圆⊙O的半径是2，则△ABC的面积是（　　）

• A． 4$\sqrt{3}$
• B． 6$\sqrt{3}$
• C． 8$\sqrt{3}$
• D． 12$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 连接OB，OD，根据⊙O是等边△ABC的内切圆，求出∠OBD=30°，求出OB=2OD=4，根据勾股定理求出BD，同理求出CD，得到BC，求出AD，即可得出答案．

解答 解：连接OB，OD，OA，
∵⊙O是等边△ABC的内切圆，
∴∠OBD=30°，∠BDO=90°，
∴OB=2OD=4，
由勾股定理得：BD=$\sqrt{{OB}^{2}{-OD}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
同理CD=2$\sqrt{3}$，
∴BC=BD+CD=4$\sqrt{3}$，
∵△ABC是等边三角形，A，O，D三点共线，
∴AD=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=12$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等边三角形性质，三角形的内切圆，勾股定理，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，并求出OB和BD的长，题目较好，难度适中．