Question

14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．如图，⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G．
（1）求证：内切圆的半径r=1；
（2）求tan∠OAG的值．

Answer 1

分析 （1）如图连结OE，OF，OG．由⊙O是△ABC的内切圆，∠C=90°，得到四边形CEOF是正方形，根据切线长定理列方程得到结果；
（2）连结OA，在R_t△AOG中，由锐角三角函数得到结果．

解答 （1）证明：如图连结OE，OF，OG．
∵⊙O是△ABC的内切圆，∠C=90°，
∴四边形CEOF是正方形，
∴CE=CF=r．
又∵AG=AE=3-r，BG=BF=4-r，AG+BG=5，
∴（3-r）+（4-r）=5．
解得r=1；
（2）解：连结OA，在R_t△AOG中，
∵r=1，AG=3-r=2，
tan∠OAG=$\frac{OG}{AG}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了三角形的内切圆的性质，切线长定理，锐角三角函数，熟记切线长定理是解题的关键．