Question

10．已知二次函数y=mx²+nx+1经过点A（-1，0）．
（1）若该二次函数图象与x轴只有一个交点，求此时二次函数的解析式；
（2）若该二次函数y=mx²+nx+1图象与x轴有两个交点，另一个交点为B，与y轴交点为C．且S_△ABC=1，求n的值；
（3）若x=1时，y＞2，试判断该抛物线在0＜x＜1之间的部分与x轴是否有公共点？若有，求出公共点的坐标，若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）点A点代入y=mx²+nx+1可得n=m+1，再根据判别式的意义得到△=n²-4m=0，即（m+1）²-4m=0，然后解方程求出m即可得到抛物线解析式；
（2）由于n=m+1，则y=mx²+nx+1=mx²+（m+1）x+1=（mx+1）（x+1），通过解方程（mx+1）（x+1）=0得B（-$\frac{1}{m}$，0），然后根据三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•|-$\frac{1}{m}$+1|•1=1，解得m=-1或m=$\frac{1}{3}$，然后计算出对应的n的值即可；
（3）当x=1时，y＞2得m+n+1＞2，把n=m+1代入得到m＞0，则可判断抛物线开口向上，加上过点（0，1），利用函数图象可判断该抛物线在0＜x＜1之间的部分与x轴没有公共点．

解答 解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=mx²+nx+1上，
∴m-n+1=0，即n=m+1，
∵二次函数图象与x轴只有一个交点，
∴△=n²-4m=0，
即（m+1）²-4m=0，解得m=1，
∴抛物线解析式为y=x²+2x+1；
（2）∵n=m+1，
∴y=mx²+nx+1=mx²+（m+1）x+1=（mx+1）（x+1），
当y=0时，（mx+1）（x+1）=0，解得x₁=-$\frac{1}{m}$，x₂=-1，
∴B（-$\frac{1}{m}$，0），
当x=0时，y=mx²+nx+1=1，则C（0，1），
∵S_△ABC=1，
∴$\frac{1}{2}$•|-$\frac{1}{m}$+1|•1=1，解得m=-1或m=$\frac{1}{3}$，
当m=-1时，n=m+1=0；当m=$\frac{1}{3}$时，n=m+1=$\frac{4}{3}$，
即n的值为0或$\frac{4}{3}$；
（3）当x=1时，y＞2，即m+n+1＞2，
而n=m+1，
∴m+m+1+1＞2，解得m＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线与y轴的交点为（0，1），
∴该抛物线在0＜x＜1之间的部分与x轴没有公共点．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标转化为解关于x的一元二次方程．对于二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．