Question

5．定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积在数量上相等，则这个点叫做和谐点．
（1）判断点M（-1，2），N（-4，-4）是否为和谐点，并说明理由；
（2）若和谐点P（a，3）在直线y=-x+b（b为常数）上，试求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）计算1×2≠2×（-1+2），4×4=2×（4+4）即可；
（2）当a＞0时，根据（a+3）×2=3a，求出a，进一步求出b；当a＜0时，根据（-a+3）×2=-3a求出a进一步求出b．

解答 解：（1）∵1×2≠2×（-1+2），4×4=2×（4+4），
∴点M不是和谐点，点N是和谐点．
（2）由题意得：①当a＞0时，
∵y=-x+b，P（a，3），
∴3=-a+b，
∴b=a+3．
∴（a+3）×2=3a，
∴a=6，
点P（a，3）在直线 y=-x+b上，代入得：b=9
②当a＜0时，（-a+3）×2=-3a，
∴a=-6，
点P（a，3）在直线y=-x+b上，代入得：b=-3，
∴a=6，b=9或a=-6，b=-3．

点评 本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，理解题意并根据题意进行计算是解此题的关键．