Question

5．把抛物线y=x²-6x向上平移k个单位，新的抛物线顶点坐标为M，与y轴交于点N，P（4，6），当△PMN的面积为20时，则k=$\frac{14}{3}$．

Answer 1

分析 根据平移规律得到新抛物线解析式，易得N的坐标，求直线PN的解析式，表示出与抛物线对称轴的交点A的坐标，根据顶点M的坐标表示线段AM的长，由三角形的面积公式=铅直高度×水平距离，进行解答．

解答 解：把抛物线y=x²-6x=（x-3）²-9向上平移k个单位，得到y=（x-3）²-9+k，
则顶点M（3，-9+k），N（0，k），
设PN的解析式为：y=ax+b，
把P（4，6）、N（0，k）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+b=6}\\{b=k}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{6-k}{4}}\\{b=k}\end{array}\right.$，
∴PN的解析式为：y=$\frac{6-k}{4}$x+k，
当x=3时，y=$\frac{3（6-k）}{4}$+k=$\frac{1}{4}$k+$\frac{9}{2}$，
∵抛物线的开口向上，
∴抛物线与y轴的交点N总在顶点M的上方，
∴AM=$\frac{1}{4}$k+$\frac{9}{2}$-（-9+k）=-$\frac{3}{4}$k+$\frac{27}{2}$，
过P作PB⊥y轴于B，
∵P（4，6），
∴PB=4，
∵△PMN的面积为20，
∴$\frac{1}{2}$AM•PB=20，
$\frac{1}{2}$（-$\frac{3}{4}$k+$\frac{27}{2}$）×4=20，
k=$\frac{14}{3}$；
故答案为：$\frac{14}{3}$．

点评 本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象的平移法则是解答此题的关键，明确上移→+，下移→-，左移→+，右移→-的原则；并注意不规则三角形面积的求法：三角形的面积公式=铅直高度×水平距离，这在函数的问题中经常运用，要熟练掌握．