Question

如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=

1

2

x的图象与反比例y=

k

x

（x＞0）的图象相交于点A（m，2）．
（1）分别求出m和k的值；
（2）根据图象回答，当x取何值时，反比例函数的值小于正比例函数的值；
（3）若点P（x，y）在此反比例函数的图象上运动（不与点A重合），过点P作PB⊥y轴于点B，设△PAB的面积为S，求S与x的函数表达式．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）将A（m，2）代入y=

1

2

x，可求得m的值，得到A点坐标；再将A点坐标代入y=

k

x

，即可求出k的值；
（2）根据图象，找出反比例函数的图象落在正比例函数图象下方的部分对应的x的取值即可；
（3）由动点P（x，y）不与点A重合，得出x≠4，而x＞0，所以分两种情况进行讨论：①0＜x＜4；②x＞4．

解答：解：（1）将A（m，2）代入y=

1

2

x，
得2=

1

2

m，解得m=4；
将A（4，2）代入y=

k

x

，
得2=

k

4

，解得k=8；

（2）根据图象可得，当x＞2时，反比例函数的值小于正比例函数的值；

（3）∵点P（x，y），PB⊥y轴于点B，
∴B（0，y），PB=x．
分两种情况：
①当0＜x＜4时，
S=

1

2

x（y-2）=

1

2

xy-x；
②当x＞4时，
S=

1

2

x（2-y）=x-

1

2

xy．

点评：本题主要考查对一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，一次函数的图象，反比例函数的图象，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能用待定系数法求出函数的解析式和会观察图象是解此题的关键．