Question

如图，直线y=kx-1（k＞0）与x轴、y轴分别交于B、C两点，且OB=

1

2

OC，点A（x，y）是直线y=kx-1上的一个动点，连接OA，
（1）求B点的坐标和k的值；
（2）求△AOB的面积S与x之间的函数关系式；
（3）探索：
①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是

1

4

？
②在①的情形下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）需根据OC=1求出B点坐标，再利用待定系数法求出k值；
（2）利用把△AOB的面积表示出来，在根据x与y之间的关系代入整理；
（3）代入求值即可，同时在查找等腰三角形的满足P点的坐标时要根据等腰三角形的性质查找．

解答：解：（1）2x²-3x+1=0，
（2x-1）（x-1）=0
2x-1=0，x-1=0，
解得x₁=

1

2

，x₂=1，
∵OB＜OC，
∴点B（

1

2

，0）；
把点B代入y=kx-1得，

1

2

k-1=0，
解得：k=2，
（2）直线解析式为y=2x-1，
△AOB的面积S=

1

2

×

1

2

×（2x-1）=

1

2

x-

1

4

，
（3）①△AOB面积S=

1

2

x-

1

4

，
当S=

1

2

时，

1

2

x-

1

4

=

1

4

，
解得：x=1，
此时y=1，
则点A的坐标为（1，1）；
②存在这样的点P．理由如下：
由②知，A的坐标是（1，1），则OA=

12+12

=

2

．
i）如图1，当O是△AOP的顶角顶点时（OA=OP），P的坐标是（-

2

，0）或（

2

，0）；
ii）当A是△AOP的顶角顶点时（AO=AP），P与过A的与x轴垂直的直线对称，则P的坐标是（2，0）；
iii）当P是△AOP的顶角顶点时（PA=PO），设P（x，0），则
x=

(x-1)2+12

，
解得，x=1，
则P（1，0）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是：（-

2

，0）或（

2

，0）或（2，0）或（1，0）．

点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，等腰三角形三线合一的性质，难点在于（2）②根据等腰三角形的腰长的不同分情况讨论．