Question

如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=10，BC-AC=2，求CE的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,等腰三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）由AB为⊙O的直径，可得AC⊥BD，又由DC=CB，即可证得AD=AB，然后由等边对等角，证得：∠B=∠D；
（2）首先设BC=x，由AB=10，BC-AC=2，可得方程x²+（x-2）²=10²，继而求得BC的值，又由∠B=∠D，∠B=∠E，则可得CE=CD=BC=8．

解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵DC=CB，
∴AD=AB，
∴∠B=∠D；

（2）解：设BC=x，
∵BC-AC=2，
∴AC=x-2，
∵AC²+BC²=AB²，
∴x²+（x-2）²=10²，
解得：x₁=8，x₂=-6（舍去），
∴BC=8，
∵∠B=∠D，∠B=∠E，
∴∠D=∠E，
∴CE=CD=BC=8．

点评：此题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．