题目内容

在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥BC与点D，当BC=AC时，如图①易证：AC+BC-AB=2DO．

（1）当BC≠AC时，如图②，线段AC、BC、AB、OD之间有怎样的等量关系，写出你的猜想并给与证明；
（2）当BC≠AC时，∠ABC的外角平分线与∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥BC与点D，如图③线段AC、BC、AB、OD之间有怎样的等量关系写出你的猜想，不需证明．

解：（1）AC+BC-AB=2OD．
如图：过点O分别做OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，连接OA，则∠OAF=∠OAE，
∵∠OBD=∠OBF，∠OCD=∠OCE，
∴OD=OE=OF，
∴△OBD≌△OBF（SAS），△OEA≌△OFA（SAS），
∴BD=BF，
AE=AF，
∵∠ACB=∠ODC=∠OEC=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
又∵OD=OE，
∴四边形ODCE是正方形，
∴CD=CE=OD，
∴AC+BC-AB=AE+CE+BD+CD-（BD+BF）=AF+OD+BF+OD-BF-AF=2OD．

（2）AC+BC+AB=2DO．
分析：（1）应猜测和所给结论是相同的．作角平分线上的点到角的两边的距离来构造全等三角形把所求各边进行转移．
（2）辅助线方法和证明方法如（1），但AC+BC很明显将小于2DO，那么应是加上AB后等于2DO．
点评：此题运用到一常识：有角平分线的时，作角平分线上的点到角的两边的距离是常用辅助线作法，需注意同一类型题的转换证明方法和过程基本一致．