Question

在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE．

（1）如图1．连接BE、CD，BE与CD交于点O，
①证明：DC=BE；
②∠BOC=

 

°． （直接填答案）
（2）如图2，连接DE，交AB于点F．DF与EF相等吗？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）①等边△ABD和等边△ACE中，AB=AD，AC=AE，∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，所以，△DAC≌△BAE，则DC=BE；
②因为△DAC≌△BAE，则∠CDA=∠EBA，又∠A=30°，所以，∠BAE=∠BAC+CAE=30°+60°=90°，在四边形ODAE中，∠ODA+∠OEA=90°，所以，可求得∠BOC=∠DOE=360°-90°-60°-90°=120°；
（2）如图，作DG∥AE，由（1）得，∠FAE=90°，所以，∠DGF=90°，易证△DGB≌△ACB，得DG=AC，所以，DG=AE，所以，△DGF≌△EAF，所以，DF=EF；

解答：证明：（1）①∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AB=AD，AC=AE，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE；
②∠BOC=120°；

（2）如图，作DG∥AE，
由（1）得，∠FAE=90°，
∴∠DGF=90°，
在△DGB和△ACB中，

∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB

，
∴△DGB≌△ACB，
∴DG=AC，
∴DG=AE，
在△DGF和△EAF中，

∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA

，
∴△DGF≌△EAF，
∴DF=EF．

点评：本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具；在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．