Question

如图，抛物线y=-x²-2x+3与x轴交A、B两点（A点在B点右侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为-2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）若点P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求当点P坐标为多少时，线段PE长度有最大值，最大值是多少？
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先根据C点的横坐标求得纵坐标，然后将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值．
（2）根据抛物线的解析式和直线的解析式，设出P、E的坐标，根据题意列出PE=-m²-2m+3-（-m+1）=-m²-m+2=-（m+

1

2

）²+

9

4

，即可求得．
（3）此题可分作两种情况考虑：
①CE∥DG；根据抛物线的解析式可求得D点坐标，可得C、D关于抛物线对称轴对称，即C、D的纵坐标相同，所以CD∥x轴，那么C点就是符合条件的G点，易求得CD的长，根据平行四边形的性质知AE=CD，由此可得到AE的长，将A点坐标向左或向右平移CD个单位即可得到两个符合条件的E点坐标；
②AC∥EG；根据平行四边形的性质知，此时G、C的纵坐标互为相反数，由此可求得G点的纵坐标，将其代入抛物线的解析式中即可求得G点的坐标；那么将G点的横坐标减去3（A、C横坐标差的绝对值），即可得到两个符合条件的E点坐标；
综上所述，符合条件的E点坐标应该有4个．

解答：（1）令y=0，则-x²-2x+3=0，
解得：x=-3，x=1，
∴B（-4，0），A（1，0），
∵抛物线y=-x²-2x+3经过C点，C点的横坐标为-2，
∴y=-（-2）²-2×（-2）+3=3，
∴C（-2，3），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴

k+b=0 -2k+b=3

，
解得

k=-1 b=1

∴直线AC的解析式为y=-x+1；

（2）设P（m，-m+1），则E（m，-m²-2m+3），
∴PE=-m²-2m+3-（-m+1）=-m²-m+2=-（m+

1

2

）²+

9

4

，
∴当m=-

1

2

时，PE有最大值，最大值为

9

4

，
此时P（-

1

2

，

3

2

），
∴点P坐标为（-

1

2

，

3

2

）时，线段PE长度有最大值，最大值是

9

4

．

（3）存在符合条件的点E，
如图，①在y=-x^2-2x+3中，令x=0，则有：y=3，故点D坐标为（0，3），
∴CD∥x轴，
∴在x轴上截取AE₁=AE₂=CD=2，得四边形ACDE₁和ADCE₂，
此时：点D与点G重合，E₁（-1，0），E₂（3，0）．
②∵AF=CF=3，∠CFA=90°，
∴∠FAC=45°，
当G₃E₃∥AC且相等时，有四边形G₃E₃CA，作G₃N⊥x轴于点N，
∵∠G₃E₃A=∠FAC=45°，∠G₃NE₃=90°，G₃E₃=AC=3

2

，
∴G₃N=E₃N=3；
将y=-3代入y=-x^2-2x+3
得：x=-1+

7

或x=-1-

7

，
∴E₃的坐标为：（-1+

7

-3，0），
即（-4+

7

，0），
同理可得：E₄（-4-

7

，0），
综上所述：存在这样的点E，所有满足条件的E点坐标为：
E₁（-1，0），E₂（3，0），E₃（-4+

7

，0），E₄（-4-

7

，0）．

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质以及平行四边形的判定和性质；要特别注意的是（3）题中，由于没有明确AC是平行四边形的边还是对角线，所以一定要分类讨论，以免漏解．