Question

如图，MN∥BC，BD⊥DC，∠1=∠2=60°．
（1）AB与DE平行吗？请说明理由；
（2）若DC是∠NDE的平分线．
①试说明∠ABC=∠C；
②试说明BD是∠ABC的平分线．

Answer 1

考点：平行线的性质,垂线

专题：

分析：（1）首先根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等即可证得∠ABC=∠1=60°，进而证明∠ABC=∠2，根据同位角相等，两直线平行，即可证得；
（2）①根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补求得∠NDE的度数，然后根据角平分线的定义，以及平行线的性质即可求得∠C的度数，从而判断；
②在直角△BCD中，求得∠DBC的度数，然后求得∠ABD的度数，即可证得．

解答：解：（1）AB∥DE，理由如下：
∵MN∥BC，（ 已知 ）
∴∠ABC=∠1=60°．（ 两直线平行，内错角相等  ）
又∵∠1=∠2，（ 已知 ）
∴∠ABC=∠2．（ 等量代换 ）
∴AB∥DE．（ 同位角相等，两直线平行 ）；
（2）①∵MN∥BC，
∴∠NDE+∠2=180°，
∴∠NDE=180°-∠2=180°-60°=120°．
∵DC是∠NDE的平分线，
∴∠EDC=∠NDC=

1

2

∠NDE=60°．
∵MN∥BC，
∴∠C=∠NDC=60°．
∴∠ABC=∠C．
②∠ADC=180°-∠NDC=180°-60°=120°，
∵BD⊥DC，
∴∠BDC=90°．
∴∠ADB=∠ADC-∠BDC=120°-90°=30°．
∵MN∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=30°．
∴∠ABD=∠DBC=

1

2

∠ABC．
∴BD是∠ABC的平分线．

点评：本题考查了平行线的性质和判定定理，以及直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，理解定理是关键．