Question

正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，DF⊥AE，BH⊥AE，求证：DF=FH+BH．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：根据正方形的性质可以得出AD=AB，∠DAB=90°，进而由DF⊥AE，BH⊥AE就可以得出∠AFD=∠BHA=90°，就可以得出△ADF≌△BAH，就有AF=BH，DF=AH，进而由AH=AF+HF而得出结论．

解答：证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°．
∵DF⊥AE，BH⊥AE，
∴∠AFD=∠BHA=90°．
∴∠FDA+∠DAH=90°．
，∠DAF+∠HAB=90°
∴∠ADF=∠BAH，
在△ADF和△BAH中

∠AFD=∠BHA ∠FDA=∠BAH AD=AB

，
∴△ADF≌△BAH（AAS），
∴AF=BH，DF=AH．
∵AH=AF+HF，
∴DF=AF+HF，
∴DF=FH+BH．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，垂直的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定的及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．