Question

13．已知，如图，在y轴上有一点A（0，6），在x轴上有两点B（6，0）、C（5，0）．
（1）求过A、B两点一次函数的解析式，及过A、C两点的一次函数的解析式；
（2）有一正比例函数y=kx（k＞0）与直线AB交于点E，与直线AC交于点F，若△AEF的面积是四边形EFCB面积的一半，求正比例函数y=kx的解析式，并求E、F两点的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求出一次函数解析式，
（2）利用点坐标先求出S_△ABC，再由△AEF的面积是四边形EFCB面积的一半，得出S_{四边形EBCF}的值，再求出点E，F的坐标，运用S_{四边形EBCF}=S_△OBE-S_△OCF=2，即可求出k的值，再代入点E，F的坐标求解即可．

解答 解：（1）∵A（0，6），B（6，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，代入得$\left\{\begin{array}{l}{6=b}\\{0=6k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴AB的解析式为y=-x+6，
同理可得AC的一次函数的解析式y=-$\frac{6}{5}$x+6．
（2）∵A（0，6），在x轴上有两点B（6，0）、C（5，0）．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AO=$\frac{1}{2}$×1×6=3，
∵△AEF的面积是四边形EFCB面积的一半，
∴S_{四边形EBCF}=2，
∵正比例函数y=kx（k＞0）与直线AB交于点E，AB的解析式为y=-x+6，
∴组成方程组为$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=-x+6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{k+1}}\\{y=\frac{6k}{k+1}}\end{array}\right.$
∴E（$\frac{6}{k+1}$，$\frac{6k}{k+1}$），
同理可得F（$\frac{30}{5k+6}$，$\frac{30k}{5k+6}$），
∵S_{四边形EBCF}=S_△OBE-S_△OCF=2，
∴$\frac{1}{2}$×6×$\frac{6k}{k+1}$-$\frac{1}{2}$×5×$\frac{30k}{5k+6}$=2，化简得5²+11k-12=0，
解得k=-3或k=$\frac{4}{5}$，
∵k＞0，
∴k=$\frac{4}{5}$，
∴正比例函数的解析式为：y=$\frac{4}{5}$x，
∴E（$\frac{10}{3}$，$\frac{8}{3}$），F（3，$\frac{12}{5}$）．

点评 本题主要考查了一次函数的综合题，涉及到用待定系数法求一次函数解析式、求点的坐标及三角形面积公式，解题的关键是灵活利用面积的关系式S_{四边形EBCF}=S_△OBE-S_△OCF=2求解．