Question

如图，点D是△ABC是的BC边上的一个动点，过点D作直线l∥AB交∠ABC的平分线于点E，交∠ABC的外角平分线于点F，连接AE，CE，CF．
（1）试探索ED与DF之间的数量关系，并予以证明；
（2）当点D在边BC上运动时，四边形ABEF是否是菱形，说明理由；
（3）在点D运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形BFCE是正方形，请给出证明．

Answer 1

考点：正方形的判定,等腰三角形的判定与性质,菱形的判定

专题：

分析：（1）由已知MN∥BC，CE、CF分别平分∠BCD和∠GCD，可推出∠DEC=∠DCE，∠DFC=∠DCF，所以得ED=CD=FD．
（2）由（1）得出的ED=CD=FD，点D运动到AC的中点时，则由ED=CD=FD=AD，所以这时四边形AECF是矩形．
（3）由已知和（2）得到的结论，点D运动到BC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，所以四边形AECF是正方形．

解答：解：（1）ED=DF；
证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵l∥AB，
∴∠1=∠3，
则∠2=∠3，
∴ED=DB，
同理可证：DB=DF，
∴ED=DF；

（2）四边形ABFE不可能是菱形．
理由：连接AF，若四边形ABFE是菱形，则AF⊥BE，
∵BE平分∠ABC，BF平分∠CBH，
∴∠1=∠2，∠4=∠5，
则∠2+∠4=

1

2

（∠1+∠2+∠3+∠4）=90°，
即BE⊥BE，
在同一平面内，过同一点不可能有两条直线同时垂直于同一直线．

（3）当点D运动到BC的中点，且△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形时，四边形BFCE是正方形．
证明：∵D是BC的中点，
∴CD=DB，由（1）知：ED=DF，
∴四边形BFCE是平行四边形，
由（2）知∠FBE=90°，
∴四边形BFCE是矩形，
又∵∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，
∵EF∥AB，
∴BC⊥EF，
∴四边形BFCE是正方形．

点评：此题考查的知识点是正方形和矩形的判定及角平分线的定义，解题的关键是由已知得出ED=FD，然后根据（1）的结论确定（2）（3）的条件．