Question

17．如图，在?ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM交DN于点O．
（1）求证：△ABN≌△CDM；
（2）连接MN，求证四边形MNCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，又由M、N分别是AD，BC的中点，即可利用SAS证得△ABN≌△CDM；
（2）利用直角三角形形的性质结合菱形的判定方法证明即可．

解答 解：
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，
∵M、N分别是AD，BC的中点，
∴BN=DM，
∵在△ABN和△CDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠B=∠CDM}\\{BN=DM}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△CDM（SAS）；

（2）证明：
∵M是AD的中点，∠AND=90°，
∴NM=AM=MD，
∵BN=NC=AM=DM，
∴NC=MN=DM，
∵NC$\stackrel{∥}{=}$DM，
∴四边形CDMN是平行四边形，
又∵MN=DM，
∴四边形CDMN是菱形．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，正确应用直角三角形的性质是解题关键．