Question

9．（1）问题情境：如图（1），已知，锐角∠AOB内有一定点P，过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N．将直线MN绕着点P旋转，旋转过程中△MON的面积存在最小值．请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小，并说明理由．
方法探究：小明与小亮二人一起研究，一会儿，小明说有办法了．小亮问：“怎么解决？”小明画出了图（2）的四边形，说：“四边形ABCD中，AD∥BC，取DC边的中点E，连结AE并延长交BC的延长线于点F．显然有△ADE≌△FCE，则S_{四边形ABCD}=S_△ABF（S表示面积）．借助这图和图中的结论就可以解决了．”
请你照小明提供的方法完成“问题情境”这个问题．
（2）实际应用：如图（3），若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部门计划以公路OA、OB 和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON．若测得∠AOB=70°，∠POB=30°，OP=4km，试求△MON的面积．（结果精确到0.1km²）
（3）拓展延伸：如图（4），在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）、（6，3）、（$\frac{9}{2}$，$\frac{9}{2}$）、（4，2），过点P的直线l与四边形OABC 一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，则其中以点O为顶点的四边形的面积的最大值是10．

Answer 1

分析 （1）根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，过点M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性质可以得出结论；
实际运用：如图3，作PP₁⊥OB，MM₁⊥OB，垂足分别为P₁，M₁，再根据条件由三角函数值就可以求出结论；
（2）分情况讨论当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长OC、AB交于点D，由条件可以得出AD=6，就可以求出△OAD的面积，再根据问题迁移的结论就可以求出最大值；
（3）当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB交x轴于T，由B、C的坐标可得直线BC的解析式，就可以求出T的坐标，从而求出△OCT的面积，再由问题迁移的结论可以求出最大值，通过比较就可以求出结论．

解答 解：（1）当直线旋转到点P是MN的中点时S_△MON最小，
如图（1），过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，过点M作MG∥OB交EF于G，
由方法探究可以得出当P是MN的中点时S_{四边形MOFG}=S_△MON．                 
∵S_{四边形MOFG}＜S_△EOF，
∴S_△MON＜S_△EOF，
∴当点P是MN的中点时S_△MON最小；    
（2）实际运用：如图3，作PP₁⊥OB，MM₁⊥OB，垂足分别为P₁，M₁，
在Rt△OPP₁中，∠POB=30°，
∴PP₁=$\frac{1}{2}$OP=2km，OP₁=OP cos∠POB=2$\sqrt{3}$km，
由方法探究的结论知道，当PM=PN时，△MON的面积最小，
∵PP₁∥MM₁
∴△N PP₁∽△NMM₁
∴MM₁=2PP₁=4 km，M₁P₁=P₁N，
在Rt△OMM₁中，∠AOB=70°，
∴OM₁=$\frac{{MM}_{1}}{tan∠AOB}$=$\frac{4}{tan70°}$ km，
∴M₁P₁=P₁N=（2$\sqrt{3}$-$\frac{4}{tan70°}$）  km，
∴ON=OP₁+P₁N=2$\sqrt{3}$+（2$\sqrt{3}$-$\frac{4}{tan70°}$）=（4$\sqrt{3}$-$\frac{4}{tan70°}$） km，
∴S_△MON=$\frac{1}{2}$ON•MM₁=$\frac{1}{2}$ （4$\sqrt{3}$-$\frac{4}{tan70°}$）×4≈10.8km．                

（3）拓展延伸：①如图4，当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长OC、AB交于点D，
∵C（$\frac{9}{2}$，$\frac{9}{2}$），
∴∠AOC=45°，
∴AO=AD．
∵A（6，0），
∴OA=6，
∴AD=6．
∴S_△AOD=$\frac{1}{2}$×6×6=18，
由问题迁移的结论可知，当PN=PM时，△MND的面积最小，
∴四边形ANMO的面积最大．
作PP₁⊥OA，MM₁⊥OA，垂足分别为P₁，M₁，
∴M₁P₁=P₁A=2，
∴OM₁=M₁M=2，
∴MN∥OA，
∴S_{四边形OANM}=S_△OMM1+S_{四边形ANMM1}=$\frac{1}{2}$×2×2+2×4=10
②如图5，当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB交x轴于T，
∵C（$\frac{9}{2}$，$\frac{9}{2}$）、B（6，3），设直线BC的解析式为y=kx+b，由题意，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{2}=\frac{9}{2}k+b}\\{3=6k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=9}\end{array}\right.$，
∴y=-x+9，
当y=0时，x=9，
∴T（9，0）．
∴S_△OCT=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×$9=\frac{81}{4}$，
由问题迁移的结论可知，当PM=PN时，△MNT的面积最小，
∴四边形CMNO的面积最大．
∴NP₁=M₁P₁，MM₁=2PP₁=4，
∴4=-x+9，
∴x=5，
∴M（5，4），
∴OM₁=5，
∵P（4，2），
∴OP₁=4，
∴P₁M₁=NP₁=1，
∴ON=3，
∴NT=6，
∴S_△MNT=$\frac{1}{2}$×4×6=12，
∴S_{四边形OCMN}=$\frac{81}{4}$-12=$\frac{33}{4}$＜10．
∴综上所述：截得四边形面积的最大值为10．

点评 本题考查了由特殊到一般的数学思想的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，四边形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，分类讨论思想的运用，解答时建立数学模型解答是关键．