Question

20．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列五个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=$\sqrt{2}$；⑤S_{四边形CDEF}=$\frac{5}{2}$S_△ABF，其中正确的结论有（　　）

• A． 5个
• B． 4个
• C． 3个
• D． 2个

Answer 1

分析 ①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；
②由AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，又AD∥BC，所以$\frac{AE}{BC}=\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$，故②正确；
③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=$\frac{1}{2}$BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；
④根据三角函数的定义得到tan∠CAD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故④错误；
⑤根据△AEF∽△CBF得到$\frac{EF}{BF}=\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$，求出S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_△ABF，S_△ABF=$\frac{1}{6}$S_矩形ABCDS_{四边形CDEF}=S_△ACD-S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD-$\frac{1}{12}$S_矩形ABCD=$\frac{5}{12}$S_矩形ABCD，即可得到S_{四边形CDEF}=$\frac{5}{2}$S_△ABF，故⑤正确．

解答 解：过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{AF}{CF}$，
∵AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
∴CF=2AF，故②正确，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF=DC，故③正确；
设AD=a，AB=b由△BAE∽△ADC，有$\frac{b}{a}=\frac{\frac{a}{2}}{b}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{b}{a}$，
∴tan∠CAD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故④错误；
∵△AEF∽△CBF，
∴$\frac{EF}{BF}=\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_△ABF，S_△ABF=$\frac{1}{6}$S_矩形ABCD
∴S_△AEF=$\frac{1}{12}$S_矩形ABCD，
又∵S_{四边形CDEF}=S_△ACD-S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD-$\frac{1}{12}$S_矩形ABCD=$\frac{5}{12}$S_矩形ABCD，
∴S_{四边形CDEF}=$\frac{5}{2}$S_△ABF，故⑤正确；
故选B．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．