Question

7．如图所示，点M是矩形ABCD的边AD的中点，P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足分别为E，F
（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？
（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？为什么？

Answer 1

分析 （1）若AD=2AB，加上M点为AD的中点，则AB=AM=DM=CD，于是可判断△ABM和△CDM为全等的等腰直角三角形，易得∠BAC=90°，然后利用∠PEM=∠PFM=90°可判断四边形PEMF为矩形；
（2）若P点为BC的中点，则MP为等腰三角形MBC的顶角的平分线，根据角平分线的性质得PE=PF，然后根据正方形的判定方法可判断矩形PEMF变为正方形．

解答 解：（1）矩形ABCD的长与宽满足AD=2AB时，四边形PEMF为矩形．理由如下：
∵AD=2AB，M点为AD的中点，
∴AB=AM=DM=CD，
∴△ABM和△CDM为全等的等腰直角三角形，
∴∠AMB=45°，∠DMC=45°，
∴∠BAC=90°，
∵PE⊥MC，PF⊥BM，
∴∠PEM=∠PFM=90°，
∴四边形PEMF为矩形；
（2）当P点运动到BC的中点时，矩形PEMF变为正方形．理由如下：
∵P点为BC的中点，
∴MP为等腰三角形MBC的顶角的平分线，
∴PE=PF，
∴矩形PEMF变为正方形．

点评 本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．也考查了矩形的判定于性质．