Question

5．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E，点F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论错误的是（　　）

• A． FB⊥OC，OM=CM
• B． △EOB≌△CMB
• C． 四边形EBFD是菱形
• D． MB：OE=3：2

Answer 1

分析 先证明△BOC是等边三角形，得FO=FC，BO=BC，故A正确，再证明四边形EBFD是平行四边形，由BE=BF推出四边形EBFD是菱形故C正确，设FM=a，则OF=OE=2a，FB=4a，由此推出D正确，由此不难得到答案．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵AO=OC，
∴BO=OC=OA，
∵∠COB=60°，
∴△BCO是等边三角形，
∴∠ACB=∠OBC=60°，BC=OB，
∵FO=FC，BO=BC，
∴FB⊥OC，OM=CM，故A正确，
∴∠CBM=∠MBO=∠OBA=30°，∠FCO=∠FOC=30°，∠OFB=∠BFC=60°，
∴∠EBF=∠BFE=60°，
∴△EFB是等边三角形，
∴BE=BF，
在△FOC和△EOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FOC=∠AOE}\\{∠FCO=∠OAE}\\{OC=OA}\end{array}\right.$，
∴△FOC≌△EOA，
∴AE=CF，OE=OF，
∵DC=AB，
∴DF=EB，
∵DF∥EB，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BE=BF，
∴四边形EBFD是菱形，故C正确，
设FM=a，
在RT△OFM中，∵∠FOM=30°，
∴OF=2FM=2a，
在RT△FOB中，∵∠FOB=90°，∠FBO=30°，
∴BF=2OF=4a，
∴BM=3a，
∴BM：OE=3：2，故D正确．
故选B．

点评 本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质．全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．