Question

18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

分析 （1）连接DE，OD．利用弦切角定理，直径所对的圆周角是直角，等角的余角相等证明∠DAO=∠CAD，进而得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BAC=45°，由BC相切⊙O于点D，得到∠ODB=90°，求得OD=BD，∠BOD=45°，设BD=x，则OD=OA=x，OB=$\sqrt{2}$x，根据勾股定理得到BD=OD=$\sqrt{2}$，于是得到结论．

解答 （1）证明：连接DE，OD．
∵BC相切⊙O于点D，
∴∠CDA=∠AED，
∵AE为直径，
∴∠ADE=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACD=90°，
∴∠DAO=∠CAD，
∴AD平分∠BAC；

（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=∠BAC=45°，
∵BC相切⊙O于点D，
∴∠ODB=90°，
∴OD=BD，∴∠BOD=45°，
设BD=x，则OD=OA=x，OB=$\sqrt{2}$x，
∴BC=AC=x+1，
∵AC²+BC²=AB²，
∴2（x+1）²=（$\sqrt{2}$x+x）²，
∴x=$\sqrt{2}$，
∴BD=OD=$\sqrt{2}$，
∴图中阴影部分的面积=S_△BOD-S_扇形DOE=$\frac{1}{2}×$$\sqrt{2}×\sqrt{2}$-$\frac{45•π×（\sqrt{2}）^{2}}{360}$=1-$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查了切线的性质，角平分线的定义，扇形面积的计算和勾股定理．熟练掌握切线的性质是解题的关键．