Question

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，?ABCO的顶点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，2）．动点P在直线y=$\frac{3}{2}$x上运动，以点P为圆心，PB长为半径的⊙P随点P运动，当⊙P与?ABCO的边相切时，P点的坐标为（0，0）或（$\frac{2}{3}$，1）或（3-$\sqrt{5}$，$\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$）．

Answer 1

分析 设P（x，$\frac{3}{2}$x），⊙P的半径为r，由题意BC⊥y轴，直线OP的解析式y=$\frac{3}{2}$x，直线OC的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x，可知OP⊥OC，分分四种情形讨论即可．

解答 解：①当⊙P与BC相切时，∵动点P在直线y=$\frac{3}{2}$x上，
∴P与O重合，此时圆心P到BC的距离为OB，
∴P（0，0）．
②如图1中，当⊙P与OC相切时，则OP=BP，△OPB是等腰三角形，作PE⊥y轴于E，则EB=EO，易知P的纵坐标为1，可得P（$\frac{2}{3}$，1）．

③如图2中，当⊙P与OA相切时，则点P到点B的距离与点P到x轴的距离相等，可得$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{3}{2}x-2）^{2}}$=$\frac{3}{2}$x，

解得x=3+$\sqrt{5}$或3-$\sqrt{5}$，
∵x=3+$\sqrt{5}$＞OA，
∴⊙P不会与OA相切，
∴x=3+$\sqrt{5}$不合题意，
∴P（3-$\sqrt{5}$，$\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$）．
④如图3中，当⊙P与AB相切时，设线段AB与直线OP的交点为G，此时PB=PG，

∵OP⊥AB，
∴∠BGP=∠PBG=90°不成立，
∴此种情形，不存在P．
综上所述，满足条件的P的坐标为（0，0）或（$\frac{2}{3}$，1）或（3-$\sqrt{5}$，$\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$）．

点评 本题考查切线的性质、一次函数的应用、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．