Question

17．函数y=x²+bx+c与y=x的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）

• A． 当1＜x＜3时，x²+（b-1）x+c＜0
• B． b+c=1
• C． 3b+c=6
• D． b²-4c＞0

Answer 1

分析 由于抛物线与直线y=x相交于点（1，1），（3，3），则利用函数图象可得当1＜x＜3时，x²+bx+c＜x，于是可对A进行判断；把（1，1）代入y=x²+bx+c可对B进行判断；把（3，3）代入y=x²+bx+c可对C进行判断；利用抛物线与x轴没有交点可对D进行判断．

解答 解：∵抛物线与直线y=x相交于点（1，1），（3，3），
∴当1＜x＜3时，x²+bx+c＜x，
即x²+（b-1）x+c＜0，所以A选项正确；
把（1，1）代入y=x²+bx+c得1+b+c=1，
∴b+c=0，所以B选项错误；
把（3，3）代入y=x²+bx+c得9+3b+c=3，
∴3b+c=6，所以C选项错误；
∵抛物线与x轴没有交点，
∴△=b²-4ac＜0，所以D错误．
故选A．

点评 本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．