Question

【题目】如图，已知是的直径，，点、在上，平分，点在外，．

（1）求证：是的切线；

（2）若，求的长；

（3）若，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）根据圆周角定理得出∠ACB=90°，∠B=∠D，进而求得∠EAC=∠B，根据∠B+∠BAC=90°得出∠EAC+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，即可证得AE是⊙O的切线；

（2）先证得△ADB是等腰直角三角形，根据勾股定理求得AD、AC的长，然后根据余弦定理即可求得CD的长；

（3）连接OC，作OF⊥AC，根据三角形中位线性质得出OF=3，根据圆周角定理得出∠AOC=120°，然后根据S阴影=S扇形﹣S△AOC即可求得．

（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°．

∵∠B=∠D，∠EAC=∠D，∴∠EAC=∠B，∴∠EAC+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，∴AE是⊙O的切线；

（2）连接BD．

∵DC平分∠ACB，∴AD=BD．

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴△ADB是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°．

∵AD2+BD2=AB2，AB=10，∴AD=5．在Rt△ABC中，AC===8．

∵∠ACD=∠ABD=45°，∴AD2=AC2+DC2﹣2ACDCcos45°，即（5）2=82+DC2﹣8DC，∴DC=7．

（3）连接OC，作OF⊥AC，∴OF垂直平分AC．

∵OA=OB，∴OF=BC=．

∵∠D=60°，∴∠AOC=120°，∠ABC=60°，∴AC=AB=5，∴S阴影=S扇形﹣S△AOC=﹣×5×=﹣．