Question

14．一个Rt△ABC，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，将它放在直角坐标系中，使斜边BC在x轴上，直角顶点A在反比例函数y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$的图象上，则点B的坐标为（-3，0）、（-1，0）、（1，0）或（3，0）．

Answer 1

分析 设出B点坐标（a，0），借助Rt△ABC中的边角关系，用a表示出A点坐标，将A点坐标再代入反比例函数关系式，即能求出a值，从而得解．

解答 解：过点A（点A在第一象限）做x轴的垂线，交x轴于D点，图形如下，

①当点B在A的右侧时，
∵Rt△ABD，∠ADB=90°，∠B=60°，AB=2，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=2×$\frac{1}{2}$=1，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
设点B的坐标为（a，0），则点A坐标为（a-1，$\sqrt{3}$），
又∵直角顶点A在反比例函数y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$的图象上，
∴有$\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{a-1}$，解得a=3，
∴点B的坐标为（3，0）．
结合反比例函数的对称性可知：点B的坐标可以为（-3，0）．
②当点B在A的右侧时，
∵Rt△ABD，∠ADB=90°，∠B=60°，AB=2，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=2×$\frac{1}{2}$=1，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
设点B的坐标为（a，0），则点A坐标为（a+1，$\sqrt{3}$），
又∵直角顶点A在反比例函数y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$的图象上，
∴有$\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{a+1}$，解得a=1，
∴点B的坐标为（1，0）．
结合反比例函数的对称性可知：点B的坐标可以为（-1，0）．
综上可得：点B的坐标为（-3，0）、（-1，0）、（1，0）或（3，0）．
故答案为：（-3，0）、（-1，0）、（1，0）或（3，0）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及含30度角的直角三角形，解题的关键是设出B点坐标（a，0），借助Rt△ABC中的边角关系，用a表示出A点坐标．