Question

19．已知关于x、y的方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1-a}\\{x-y=3a+5}\end{array}\right.$，给出下列结论：
①当a=1时，方程组的解也是方程x+y=2的解；
②当x=y时，a=-$\frac{5}{3}$；
③不论a取什么实数，2x+y的值始终不变；
④若z=-$\frac{1}{2}$xy，则z的最小值为-1．
请判断以上结论是否正确，并说明理由．

Answer 1

分析 ①将a=1代入方程组，求出方程组的解，即可做出判断；
②将x=y代入方程组，求出a的值，即可做出判断；
③将a看做已知数求出2x+y的值即可；
④将a看做已知数求出x与y的值代入z=-$\frac{1}{2}$xy，即可做出判断．

解答 解：关于x、y的方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1-a}\\{x-y=3a+5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=a+3}\\{y=-2a-2}\end{array}\right.$．
①将a=1代入$\left\{\begin{array}{l}{x=a+3}\\{y=-2a-2}\end{array}\right.$，得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
将x=4，y=-4代入方程左边得：x+y=0，右边=2，左边≠右边，本选项错误；
②将x=y代入$\left\{\begin{array}{l}{x=a+3}\\{y=-2a-2}\end{array}\right.$，得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{a=-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
即当x=y时，a=-$\frac{5}{3}$，本选项正确；
③将原方程组中第一个方程×3，加第二个方程得：4x+2y=8，
即2x+y=4，不论a取什么实数，2x+y的值始终不变，本选项正确；
④z=-$\frac{1}{2}$xy=-$\frac{1}{2}$（a+3）（-2a-2）=a²+4a+3=（a+2）²-1≥-1，
即若z=-$\frac{1}{2}$xy，则z的最小值为-1，此选项正确．
故正确的选项有：②、③、④．

点评 本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是牢记二元一次方程组的解题方法．