Question

3．学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的进价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元．
（1）求篮球和足球的单价；
（2）根据实际需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于足球数量的$\frac{2}{3}$，学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元．请问有几种购买方案？
（3）若购买篮球x个，学校购买这批篮球和足球的总费用为y（元），在（2）的条件下，求哪种方案能使y最小，并求出y的最小值．

Answer 1

分析 （1）设一个篮球x元，则一个足球（x-30）元，根据“买两个篮球和三个足球一共需要510元”列出方程，即可解答；
（2）设购买篮球x个，足球（100-x）个，根据“篮球购买的数量不少于足球数量的$\frac{2}{3}$，学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元”，列出不等式组，求出x的取值范围，由x为正整数，即可解答；
（3）表示出总费用y，利用一次函数的性质，即可确定x的取值，即可确定最小值．

解答 解：（1）设一个篮球x元，则一个足球（x-30）元，由题意得：
2x+3（x-30）=510，
解得：x=120，
∴一个篮球120元，一个足球90元．

（2）设购买篮球x个，足球（100-x）个，
由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{2}{3}（100-x）}\\{120x+90（100-x）≤10500}\end{array}\right.$，
解得：40≤x≤50，
∵x为正整数，
∴x=40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，
∴共有11种购买方案．   

（3）由题意可得y=120x+90（100-x）=30x+9000（40≤x≤50）
∵k=30＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=40时，y有最小值，y_最小=30×40+9000=10200（元），
所以当x=40时，y最小值为10200元．

点评 本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据已知条件，列出一元一次方程和一元一次不等式组，应用一次函数的性质解决问题．