Question

1．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OA∥PE
（1）求证：AP=AO；
（2）若弦AB=12，求tan∠OPB的值．

Answer 1

分析 （1）由PG平分∠EPF可得∠CPO=∠APO，由AO∥PD可得∠CPO=∠AOP，从而有∠APO=∠AOP，则有AP=AO．
（2）过点O作OH⊥AB于H，如图2．根据垂径定理可得AH=BH=6，从而可求出PH，在Rt△AHO中，运用勾股定理可求出OH，然后运用锐角三角函数的定义就可解决问题．

解答 （1）证明：如图，
∵PG平分∠EPF，
∴∠CPO=∠APO．
∵AO∥PD，
∴∠CPO=∠AOP，
∴∠APO=∠AOP，
∴AP=AO．

（2）解：过点O作OH⊥AB于H，如图．
根据垂径定理可得AH=BH=$\frac{1}{2}$AB=6，
∴PH=PA+AH=AO+AH=10+6=16．
在Rt△AHO中，
OH=$\sqrt{O{A}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{100-36}$=8，
∴tan∠OPB=$\frac{OH}{PH}$=$\frac{8}{16}$=$\frac{1}{2}$．
∴tan∠OPB的值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了垂径定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数的定义、平行线的性质、角平分线的定义等知识，综合性比较强．