Question

（1）如图，以△ABC三边向外分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，判断四边形ADFE的形状；
（2）在（1）中，是否存在平行四边形ADFE？若存在，写出△ABC应满足的条件；若不存在，请说明理由；
（3）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形？
（4）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是菱形？
（5）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是正方形？

Answer 1

解：（1）∵△ABE、△CBF是等边三角形，
∴BE=AB，BF=CB，∠EBA=∠FBC=60°；
∴∠EBF=∠ABC=60°﹣∠ABF；
∴?△EFB≌△ACB；
∴EF=AC=AD；
同理由△CDF≌△CAB，
得DF=AB=AE；
由AE=DF，AD=EF即可得出四边形AEFD是平行四边形； 
 （2）存在，且△ABC需满足的条件是∠BAC≠60°；
证明：当∠BAC=60°时，
∵△ABE、△ACD是等边三角形，
∴∠BAE=∠CAD=60°；
若∠BAC=60°，
则E、A、D三点共线，A、E、F、D够不成四边形；
当∠BAC≠60°时，由（1）知四边形AEFD是平行四边形；
故存在平行四边形AEFD，且△ABC需满足的条件是∠BAC≠60°；  
（3）若∠BAC=150°，则平行四边形AEFD是矩形；
∴∠EAD=360°﹣150°﹣60°﹣60°=90°；
即△ABC满足∠BAC=150°时，
四边形AEFD是矩形；  
（4）若AE=AD，则平行四边形AEFD是菱形；
此时AE=AB=AC=AD，
即△ABC是等腰三角形；
故△ABC满足AB=AC时，四边形AEFD是菱形；
  （5）综合（3）（4）的结论知：当△ABC是顶角∠BAC是150°的等腰三角形时，四边形AEFD是正方形．