Question

如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若

BC

：

AC

=1：2，求AE：EB：BD的值（请你直接写出结果）；
（3）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．

Answer 1

分析：（1）连OP，根据圆周角定理得到∠AOP=2∠ACP=120°，则∠PAO=∠APO=30°，利用PA=PD得到∠D=∠PAD=30°，则∠APD=180°-30°-30°=120°，于是得到∠OPD=120°-30°=90°，根据切线的判定定理即可得到PD是⊙O的切线；
（2）连BC，由AB为直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=90°，利用

BC

：

AC

=1：2，则∠ABC=2∠BAC，所以有∠BAC=30°，∠ABC=60°，而∠PAE=30°，得到AE垂直平分PC，设BE=x，然后利用含30°的直角三角形三边的关系可求出AE：EB：BD的值；
（3）根据圆周角定理由弧AC=弧BC，得到∠CAB=∠APC，OC⊥AB，根据相似三角形的判定方法易得△ACE∽△PCA，则

AC

PC

=

CE

AC

，即AC²=PC•CE，利用勾股定理有A0²+OC²=AC²=8，即可得到CE•CP的值．

解答：解：（1）PD与⊙O相切．理由如下：
连接OP，
∵∠ACP=60°，
∴∠AOP=120°，
而OA=OP，
∴∠PAO=∠APO=30°，
∵PA=PD，
∴∠D=∠PAD=30°，
∴∠APD=180°-30°-30°=120°，
∴∠OPD=120°-30°=90°，
∵OP为半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）连BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵

BC

：

AC

=1：2，
∴∠ABC=2∠BAC，
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，
而∠PAE=30°，
∴∠APE=∠DPE=60°，
∴AE垂直平分PC，如图，
设BE=x，在Rt△BCE中，∠BCE=30°，则BC=2BE=2x，
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=2BC=4x，
∴AE=AB-BE=3x，
∵PA=PD，PE⊥AD，
∴AE=DE，
∴DB=3x-x=2x，
∴AE：EB：BD的值为3：1：2；

（3）如图，连接OC，
∵弧AC=弧BC，CO⊥AD，
∴∠CAB=∠APC，OC⊥AB，
而∠C=∠C，
∴△ACE∽△PCA，
∴

AC

PC

=

CE

AC

，即AC²=PC•CE，
∵A0²+OC²=AC²=8，
∴PC•CE=AC²=8．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、圆周角定理等是解决圆的综合题的关键；运用相似三角形的判定与性质、勾股定理以及含30°的直角三角形三边的关系是解决几何计算常用的方法；对于综合题一般采用各个击破的方式解决．