Question

已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．

（1）如图①，当PA的长度等于

 

时，∠PAD=60°；当PA的长度等于

 

时，△PAD是等腰三角形；
（2）如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S₁、S₂、S₃．设P点坐标为（a，b），试求2S₁S₃-S₂²的最大值，并求出此时a、b的值．

Answer 1

分析：（1）由AB是直径，可得∠APB=90°，然后利用三角函数即可求得PA的长；当PA=PB时，△PAB是等腰三角形，然后由等腰三角形的性质与射影定理即可求得答案．
（2）过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E，F延长FP交BC于点G，则PG⊥BC，P点坐标为（a，b），PE=b，PF=a，PG=4-a，利用矩形的面积关系与二次函数的知识即可求得答案．

解答：解：（1）若∠PAD=60°，需∠PAB=30°，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
则在Rt△PAB中，PA=

3

2

AB=2

3

，
∴当PA的长度等于2

3

时，∠PAD=60°；

若△PAD是等腰三角形，当PA=PD时，
此时P位于四边形ABCD的中心，
过点P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，
则四边形EAMP是正方形，
∴PM=PE=

1

2

AB=2，
∵PM²=AM•BM=4，
∵AM+BM=4，
∴AM=2，
∴PA=2

2

，
当PD=DA时，以点D为圆心，DA为半径作圆与弧AB的交点为点P．
连PD，令AB中点为O，再连DO，PO，DO交AP于点G，
则△ADO≌△PDO，
∴DO⊥AP，AG=PG，
∴AP=2AG，
又∵DA=2AO，∠ADG=∠GAO，
∴

OA

AD

=

OG

AG

=

1

2

，
∴AG=2OG，
设AG为2x，OG为x，
∴（2x）²+x²=4，
∴x=

2 5

5

∴AG=2x=

4 5

5

，
∴AP=

8 5

5

∴当PA的长度等于2

2

或

8 5

5

时，△PAD是等腰三角形；

（2）过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E，F延长FP交BC于点G，
则PG⊥BC，
∵P点坐标为（a，b），
∴PE=b，PF=a，PG=4-a，
在△PAD，△PAB及△PBC中，
S₁=2a，S₂=2b，S₃=8-2a，
∵AB为直径，
∴∠APB=90°，
∴PE²=AE•BE，
即b²=a（4-a），
∴2S₁S₃-S₂²=4a（8-2a）-4b²=-4a²+16a=-4（a-2）²+16，
∴当a=2时，b=2，2S₁S₃-S₂²有最大值16．

点评：此题考查了正方形的性质，圆周角的性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强，解题时要注意数形结合与方程思想的应用．