Question

12．如图，在?ABCD中，∠B=60°，点E、F分别是边BC、AB上的点，且DF垂直平分AE，若BF=1，且EF⊥AB，则线段AD的长为$\sqrt{3}+$3．

Answer 1

分析 解直角三角形得到EF=$\sqrt{3}$，由DF垂直平分AE，得到AE=EF=$\sqrt{3}$，AD=DE，求得AB=CD=$\sqrt{3}$+1，根据全等三角形的性质得到∠FAD=∠FED=120°，得到∠DEC=30°，推出CE=CD=$\sqrt{3}$+1，过C作CG⊥DE于G，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：∵EF⊥AB，
∴∠AEF=∠BFE=90°，
∵∠B=60°，BF=1，
∴EF=$\sqrt{3}$，
∵DF垂直平分AE，
∴AE=EF=$\sqrt{3}$，AD=DE，
∴AB=CD=$\sqrt{3}$+1，
在△AFD与△EFD中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=EF}\\{AD=DE}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△EFD，
∴∠FAD=∠FED=120°，
∴∠DEC=30°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠EDC=30°，
∵∠ADC=∠ABC=60°，
∴∠EDC=30°，
∴∠EDC=∠CED=30°，
∴CE=CD=$\sqrt{3}$+1，
过C作CG⊥DE于G，
∴DG=EG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，
∴AD=DE=$\sqrt{3}$+3．
故答案为：$\sqrt{3}$+3．

点评 本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的直线辅助线是解题的关键．