Question

2．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC=3BD，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，则k的值为（　　）

• A． $\frac{81\sqrt{3}}{25}$
• B． $\frac{81\sqrt{3}}{16}$
• C． $\frac{81\sqrt{3}}{5}$
• D． $\frac{81\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设BD=a，则OC=3a，根据等边三角形的性质结合解含30度角的直角三角形，可找出点C、D的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a、k的值，此题得解．

解答 解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图所示．
设BD=a，则OC=3a．
∵△AOB为边长为6的等边三角形，
∴∠COE=∠DBF=60°，OB=6．
在Rt△COE中，∠COE=60°，∠CEO=90°，OC=3a，
∴∠OCE=30°，
∴OE=$\frac{3}{2}$a，CE=$\sqrt{O{C}^{2}-O{E}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$a，
∴点C（$\frac{3}{2}$a，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$a）．
同理，可求出点D的坐标为（6-$\frac{1}{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a）．
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，
∴k=$\frac{3}{2}$a×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$a=（6-$\frac{1}{2}$a）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴a=$\frac{6}{5}$，k=$\frac{81\sqrt{3}}{25}$．
故选A．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及解含30度角的直角三角形，根据等边三角形的性质结合解含30度角的直角三角形，找出点C、D的坐标是解题的关键．