Question

15．如图所示，直线y=x与抛物线  y=x²-x-3交于A，B两点，点P是抛物线上的一个动点，点P作PQ⊥x轴交直线y=x于点Q，设点P的横坐标为m，则线段PQ的长度随着m的增大而减小时m的取值范围是m＜-1或1＜m＜3．

Answer 1

分析 可用m分别表示出P、Q的坐标，则可用m表示出PQ的长，再利用二次函数的性质可求得答案．

解答 解：
联立直线和抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}-x-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴A（-1，-1），B（3，3），
∵点P在抛物线上，点Q在直线y=x上，且点P的横坐标为m，
∴P（m，m²-m-3），Q（m，m），
当m＜-1或m＞3时，可知点P在点Q上方，
∴PQ=m²-m-3-m=m²-2m+4=（m-1）²-4，
∴当m＜1时PQ的长度随m的增大而减小；
当-1＜m＜3时，可知点Q在点P上方，
∴PQ=m-（m²-m-3）=-m²+2m+3=-（m-1）²+4，
此时抛物线开口向下，对称轴为m=1，
∴当1＜m＜3时，PQ随m的增大而减小，
综上可知m的取值范围为：m＜-1或1＜m＜3，
故答案为：m＜-1或1＜m＜3．

点评 本题主要考查二次函数的性质，利用m表示出PQ的长度是解题的关键，注意分类讨论．