Question

8．（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，求证：CD：BD=AC：AB．证明：过点A作AG⊥BC于点G，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F．请完成后面的证明；
（2）如图2，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，连接DE交AC于点F，直接利用（1）的结论求AF：FC．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质得到DE=DF，根据三角形的面积公式证明即可；
（2）根据菱形的性质得到AB∥CD，根据相似三角形的判定定理得到△AEF∽△DCF，根据相似三角形的性质计算即可．

解答 （1）证明：过点A作AG⊥BC于点G，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF，
△ADC的面积=$\frac{1}{2}$×AC×DE=$\frac{1}{2}$×CD×AG，
△ADB的面积=$\frac{1}{2}$×AB×DF=$\frac{1}{2}$×BD×AG，
∴CD：BD=AC：AB；
（2）解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴△AEF∽△DCF，
∴AE：CD=AF：FC，
∴AF：FC=1：2．

点评 本题考查的是角平分线的性质、相似三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．