Question

如图，直线y=kx+b（k≠0）交坐标轴于A，C两点，A、B关于y轴对称，D在y轴上，且∠CBD=∠CDB，E、F分别是线段CB、AC延长线上一点，且DE=DF，试判断OC、CE、CF三者之间有怎样的数量关系？并加以证明．

Answer 1

考点：一次函数综合题,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,轴对称的性质

专题：证明题,探究型

分析：作点E关于y轴的对称点E′，连接DE′，过点D作DH⊥AC，垂足为H，如图所示．可以证明AC=BC=DC，从而证到△AOC≌△DHC，则有HC=OC，根据等腰三角形的三线合一可以证明HF=

1

2

E′F．由HF=CH+CF=OC+CF，E′F=E′C+CF=EC+CF，HF=

1

2

E′F就可得到OC、CE、CF三者之间的数量关系．

解答：答：OC、CE、CF之间的数量关系为：CE=2CO+CF．
证明：作点E关于y轴的对称点E′，连接DE′，过点D作DH⊥AC，垂足为H，如图所示．
则点E′必落在线段CA的延长线上，且有DE′=DE，CE′=CE．
∵DE=DF，∴DE′=DF．
∵DH⊥AC，∴E′H=FH=

1

2

E′F．
∴HF=

1

2

（CE′+CF）=

1

2

（CE+CF）．
∵A、B关于y轴对称，∴CA=CB．
∵∠CBD=∠CDB，∴CD=CB．
∴CA=CD．
在△AOC和△DHC中，

∠ACO=∠DCH ∠AOC=∠DHC CA=CD

∴△AOC≌△DHC（AAS）．
∴CO=CH．
∴HF=CH+CF=CO+CF．
∴CO+CF=

1

2

（CE+CF）．
整理得：CE=2CO+CF．

点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，利用轴对称的性质将CE和CF转化到同一条线上是解决本题的关键．