Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O、AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】直线PC与⊙O相切.证明见解析.

【解析】试题分析：连结OC，由PC=PE得∠PCE=∠PEC，利用三角形外角性质得∠PEC=∠A+∠ACE=∠A+45°，加上∠A=90°-∠ABC，∠ABC=∠OCB，于是可得到∠PCE=90°-∠OCB+45°=90°-（∠OCE+45°）+45°，则∠OCE+∠PCE=90°，于是根据切线的判定定理可得PC为⊙O的切线

试题解析：直线PC与⊙O相切.

理由：连接OC

∵PC=PE

∴∠PCE=∠PEC

∴∠PCB+∠BCE=∠ACE+∠CAE

∵CD平分∠ACB

∴∠BCE=∠ACE

∴∠PCB=∠CAE

∵AB为直径

∴∠ACB=90°

∴∠CAE+∠CBA=90°

∴∠PCB+∠CBA=90°

∵OC=OB

∴∠OCB=∠CBA

∴∠PCB+∠OCB =90°,即∠OCP=90°

∴直线PC与⊙O相切.