Question

如图，矩形ABCD，AB=6cm，AD=12cm，P是AB上的动点，Q是AD上的动点．P以1cm/s的速度从B到A，Q以2cm/s的速度从A到D，P到A（或Q到D）时停止运动．求PQ+QC最小值．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：设t秒后PQ+QC最小，取点P关于AD的对称点P′，连接CP′与AD相交，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的使PQ+QC最小的点Q的位置，表示AP′、AQ、QD，然后根据△AP′Q和△DCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出t，再表示出BP′，然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：解：设t秒后PQ+QC最小，取点P关于AD的对称点P′，连接CP′与AD相交，
由轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的使PQ+QC最小的点Q的位置，
∵AB=6cm，AD=12cm，
∴AP=AP′=6-t，
AQ=2t，QD=12-2t，
∵AB∥CD，
∴△AP′Q∽△DCQ，
∴

AP′

CD

=

AQ

QD

，
即

6-t

6

=

2t

12-2t

，
整理得，t²-18t+36=0，
解得t₁=9-3

5

，t₂=9+3

5

（舍去），
所以，BP′=AB+AP′=6+（6-9+3

5

）=3+3

5

，
所以，P′C=

BP′2+BC2

=

(3+3 5 )2+122

=3

22+2 5

，
即PQ+QC最小值是3

22+2 5

．

点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，利用轴对称确定出相似三角形并列出比例式是解题的关键．