Question

16．如图，在菱形ABCD中，∠DAB=45°，AB=4，点P为线段AB上一个动点，过点P作PE⊥AB交直线AD于点E，沿PE将∠A折叠，点A的对称点为点F，连接EF、DF、GF，当△CDF为直角三角形时，AP=$\sqrt{2}$或2+$\sqrt{2}$．．

Answer 1

分析 分两种情形①如图1，如图1，当DF⊥AB时，△CDF是直角三角形，②如图2，当CF⊥AB时，△DCF是直角三角形分别求出即可．

解答 解：如图1，当DF⊥AB时，△CDF是直角三角形，

∵在菱形ABCD中，AB=4，
∴CD=AD=AB=4，
在RT△ADF中，∵AD=4，∠DAN=45°DF=AF=2$\sqrt{2}$，
∴AP=$\frac{1}{2}$AF=$\sqrt{2}$，
如图2，当CF⊥AB时，△DCF是直角三角形，

在RT△CBF中，∵∠CFB=90°，∠CBF=∠A=45°，BC=4，
∴BF=CF=2$\sqrt{2}$，
∴AF=4+2$\sqrt{2}$，
∴AP=$\frac{1}{2}$AF=2+$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$或2+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键，学会正确画出图象，注意分类讨论的思想，属于中考常考题型．