Question

16．联想三角形内心的概念，我们可引入如下概念．
定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．
举例：如图1，若PD=PE，则点P为△ABC的准内心．
应用：如图2，BF为等边三角形的角平分线，准内心P在BF上，且PF=$\frac{1}{2}$BP，求证：点P是△ABC的内心．
探究：已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，准内心P在AC上，若PC=$\frac{1}{2}$AP，求∠A的度数．

Answer 1

分析 应用：由△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠ABC=60°，由角平分线的性质∴∠PBE=30°，得到PE=$\frac{1}{2}$PB，因为BF是等边△ABC的角平分线，由三线合一得到BF⊥AC，PF=$\frac{1}{2}$BF，证得PE=PD=PF，得到结论P是△ABC的内心；
探究：根据题意得：PD=PC=$\frac{1}{2}$AP，由锐角三角函数得到结论．

解答 解：应用：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵BF为角平分线，
∴∠PBE=30°，
∴PE=$\frac{1}{2}$PB，
∵BF是等边△ABC的角平分线，
∴BF⊥AC，
∵PF=$\frac{1}{2}$BF，
∴PE=PD=PF，
∴P是△ABC的内心；
探究：根据题意得：
PD=PC=$\frac{1}{2}$AP，
∵$SinA=\frac{PD}{AP}=\frac{{\frac{1}{2}AP}}{AP}=\frac{1}{2}$，
∴∠A是锐角，
∴∠A=30°．

点评 此题考查了圆的综合，用到的知识点是角平分线的性质，特殊角的三角函数，等边三角形的性质，读懂题意，弄清楚准内心的定义是解题的关键．