题目内容
4．若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”．如图1，四边形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为奇妙四边形．根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：（1）矩形不是“奇妙四边形”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”，若⊙O的半径为6，∠BCD=60°．求“奇妙四边形”ABCD的面积；
（3）如图3，已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”作OM⊥BC于M．请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．
分析 （1）根据矩形的性质和“奇妙四边形”的定义进行判断；
（2）连结OB、OD，作OH⊥BD于H，如图2，根据垂径定理得到BH=DH，根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BCD=120°，则利用等腰三角形的性质得∠OBD=30°，在Rt△OBH中可计算出BH=$\sqrt{3}$OH=3$\sqrt{3}$，BD=2BH=6$\sqrt{3}$，则AC=BD=6$\sqrt{3}$，然后根据奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半求解；
（3）连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，根据垂径定理得到AE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用等角的余角相等得到∠OBM=∠AOE，则可证明△BOM≌△OAE得到OM=AE，于是有OM=$\frac{1}{2}$AD．
解答 
解：（1）矩形的对角线相等但不垂直，
所以矩形不是“奇妙四边形”；
故答案为不是；
（2）连结OB、OD，作OH⊥BD于H，如图2，则BH=DH，
∵∠BOD=2∠BCD=2×60°=120°，
∴∠OBD=30°，
在Rt△OBH中，∵∠OBH=30°，
∴OH=$\frac{1}{2}$OB=3，
∴BH=$\sqrt{3}$OH=3$\sqrt{3}$，
∵BD=2BH=6$\sqrt{3}$，
∴AC=BD=6$\sqrt{3}$，
∴“奇妙四边形”ABCD的面积=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$×6$\sqrt{3}$=54；
（3）OM=$\frac{1}{2}$AD．理由如下：
连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，
∵OE⊥AD，
∴AE=DE，
∵∠BOC=2∠BAC，
而∠BOC=2∠BOM，
∴∠BOM=∠BAC，
同理可得∠AOE=∠ABD，
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠BOM+∠AOE=90°，
∵∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠OBM=∠AOE，
在△BOM和△OAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BMO=∠OEA}\\{∠OBM=∠AOE}\\{OB=AO}\end{array}\right.$，
∴△BOM≌△OAE，
∴OM=AE，
∴OM=$\frac{1}{2}$AD．
点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质和矩形的性质；会利用三角形全等解决线段相等的问题．
如图，在△ABC中，I是△ABC的内心，O是AB边上一点，⊙O经过B点且与AI相切于I点．若tan∠BAC=$\frac{24}{7}$，则sin∠C的值为（ ）| A． | $\frac{5}{6}$ | B． | $\frac{4}{5}$ | C． | $\frac{3}{5}$ | D． | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |