Question

如图，点P在y轴上，⊙P交x轴于A、B两点，连结BP并延长交⊙P于C，过点C的直线y=2x+b交x轴于D，且⊙P的半径为

5

，AB=4．
（1）求点B、P、C的坐标；
（2）求证：CD是⊙P的切线．

Answer 1

考点：切线的判定,一次函数图象上点的坐标特征,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连结AC，由于BC是圆P的直径，那么∠CAB=90°．解Rt△ABC，得出AC=

BC2-AB2

=2，由垂径定理得出OB=OA=2，根据三角形中位线定理得出OP=

1

2

AC=1，从而求出点B、P、C的坐标；
（2）将C（-2，2）代入y=2x+b，利用待定系数法求出过点C的直线解析式为y=2x+6，得到D（-3，0），AD=1．再利用SAS证明△ADC≌△OPB，得出∠DCA=∠B，然后证明∠BCD=90°，根据切线的判定定理证明CD是⊙P的切线．

解答：（1）解：连结AC．
∵BC是⊙P的直径，
∴∠CAB=90°．
在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，BC=2

5

，AB=4，
∴AC=

BC2-AB2

=2，
∵OP⊥AB，
∴OB=OA=2，
∴OP=

1

2

AC=1，
∴P（0，1），B（2，0），C（-2，2）；

（2）证明：将C（-2，2）代入y=2x+b，
得-4+b=2，解得b=6
∴y=2x+6，
当y=0时，则x=-3，
∴D（-3，0），
∴AD=1．
在△ADC和△OPB中，

AC=OB ∠CAD=∠BOP=90° DA=PO

，
∴△ADC≌△OPB（SAS），
∴∠DCA=∠B．
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠DCA+∠ACB=90°，即∠BCD=90°，
∴CD是⊙P的切线．

点评：本题考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．