Question

如图，正方形ABCD绕B点逆时针旋转得到正方形BPQR，连接DQ，延长CP交DQ于E．若CE=5

2

，ED=4，则AB=

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：设AD与PQ相交于点O，连接BO，过点C作CM⊥DQ角QD的延长线于M，利用“HL”证明Rt△AOB和Rt△POB全等，根据全等三角形对应边相等可得∠ABO=∠PBO，全等三角形对应边相等可得AO=PO，然后求出OD=OQ，根据等边对等角可得∠ODQ=∠OQD，再根据三角形的内角和定理和四边形的内角和定理求出∠PBO=∠ODQ，再根据等腰三角形两底角相等的性质用∠POB表示出∠PCB，然后求出∠EDB=∠PCB，根据三角形的内角和定理可得∠CED=∠CBD=45°，判断出△CEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出CM=EM=5，再求出DM，然后利用勾股定理列式计算即可求出CD的长，根据正方形的四条边都相等即可得解．

解答：解：如图，设AD与PQ相交于点O，连接BO，过点C作CM⊥DQ角QD的延长线于M，
在Rt△AOB和Rt△POB中，

BO=BO AB=PB

，
∴Rt△AOB≌Rt△POB（HL），
∴∠ABO=∠PBO，AO=PO，
∴AD-AO=PQ-PO，
即OD=OQ，
∴∠ODQ=∠OQD，
∵∠PBO=

1

2

（360°-90°×2-∠AOP）=

1

2

（180°-∠AOP），
∠ODQ=

1

2

（180°-∠DOQ），
∠AOP=∠DOQ（对顶角相等），
∴∠PBO=∠ODQ，
∵BC=BP，
∴∠PCB=

1

2

（180°-∠PBC）=

1

2

（180°-90°+2∠POB）=45°+∠PBO，
∠EDB=∠ODQ+∠ADB=∠PBO+45°，
∴∠EDB=∠PCB，
∴∠CED=∠CBD=45°，
∴△CEM是等腰直角三角形，
∵CE=5

2

，
∴CM=EM=5，
∴DM=EM-ED=5-4=1，
在Rt△CDM中，CD=

DM2+CM2

=

12+52

=

26

，
∴AB=CD=

26

．
故答案为：

26

．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于作辅助线构造成全等三角形和等腰直角三角形，熟记各性质并综合应用是解题的关键．