Question

19．如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D；
（1）若∠ABC=60°，∠DCE=70°，则∠D=40°；
（2）若∠ABC=70°，∠A=80°，则∠D=40°；
（3）若∠ABC+∠ACB=100°，则∠D=40°；
（4）当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否发生变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含∠A的式子表示∠D）

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求得；
（2）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求得；
（3）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求得；
（4）根据三角形内角和定理以及角平分线性质，先求出∠D、∠A的等式，推出∠D=$\frac{1}{2}$∠A，即可求得结论．

解答 解：（1）∵BD为△ABC的角平分线，∠ABC=60°，
∴∠DBC=30°，
∵∠DCE=70°，
∴∠D=∠DCE-∠DBC=70°-30°=40°；
（2）∵∠ABC=70°，∠A=80°，
∴∠ACE=150°
∵BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，
∴$∠DBC=\frac{1}{2}∠ABC$=35°，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACE=75°，
∴∠D=∠DCE-∠DBC=75°-35°=40°；
（3）∵∠DCE=∠DBC+∠D，
∴∠D=$\frac{1}{2}$∠ACE-$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）-$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠ABC+∠ACB=100°，
∴∠A=80°，
∴∠D=40°；
（4）不变化，
理由：∵∠DCE=∠DBC+∠D，
∴∠D=$\frac{1}{2}$∠ACE-$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）-$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠A．
故答案为40；40；40．

点评 此题考查三角形内角和定理以及三角形外角的性质的综合运用，解此题的关键是求出∠D=$\frac{1}{2}$∠A．