Question

7．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC
（1）求证：AE⊥DE；
（2）设以AD为直径的半圆交AB于F，连接DF交AE于G，已知CD=10，AE=16，求$\frac{FG}{AE}$的值．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是?，可知AB∥CD，那么就有∠BAD+∠ADC=180°，又AE、DE是∠BAD、∠ADC的角平分线，容易得出∠DAE+∠ADE=90°，即AE⊥DE；
（2）由于AD∥BC，AE是角平分线，容易得∠BAE=∠BEA，那么AB=BE=CD=10，同理有CE=CD=10，容易得出AD=BC=BE+CE=20．在Rt△ADE中，利用勾股定理可求DE，由于AD是直径，所以tan∠FAG=$\frac{FG}{AF}$，而∠FAG=∠DAE，于是$\frac{FG}{AF}$=$\frac{DE}{AE}$，即可求．

解答 （1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°．                     
又∵AE、DE平分∠BAD、∠ADC，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥DE．               

（2）解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=5，AD=BC，
∴∠DAE=∠BEA．                        
又∵∠DAE=∠BAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴BE=AB=10．                           
同理EC=CD=10．
∴AD=BC=BE+EC=20．                       
在Rt△AED中，DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}-1{6}^{2}}$=12．
又∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠FAG=∠DAE．
∵AD是直径，
∴∠AFD=90°，
∴tan∠FAG=$\frac{FG}{AF}$，
∴$\frac{FG}{AF}$=tan∠DAE=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，角平分线的定义，熟练掌握各定理是解题的关键．