Question

8．如图，将矩形ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕交BC、AD分别于点E、F．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB=4，BC=8，求菱形AECF的面积．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质可得：OA=OC，EF⊥AC，即可证得AF=CF，又由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，可得OE=OF，继而可证得四边形AECF是菱形；
（2）首先设CE=x，则AE=x，be=8-x，然后由勾股定理求得（8-x）²+4²=x²，继而求得答案．

解答 （1）证明：由折叠的性质可得：OA=OC，EF⊥AC，
∴AF=CF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FAC=∠ECA，
在△AOF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAC=∠ECA}\\{OA=OC}\\{∠AOF=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AF=CF，
∴四边形AECF是菱形；

（2）解：设CE=x，则AE=x，be=8-x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴BE²+AB²=AE²，
∴（8-x）²+4²=x²，
解得：x=5，即EC=5，
∴S_菱形AECF=EC•AB=5×4=20．

点评 此题考查了折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．